5、数的编码方式

• 带符号数有以下列编码方式
• 源码：1个数的正常二级制表示，最高位表示符号，数值0的源码有2种形式：+0（0 0000000）和-0（1 0000000）
• 反码：正数的反码即原码；负数的反码是在原码的基础上，除符号位外，其它各位按位取反。数值0的反码也有两种形式：+0（0 0000000）和-0（1 1111111）
• 补码：正数的补码即原码；负数的补码是在原码的基础上，除符号位外，其他各位按位取反，而后未位+1，若有进位产生进位。因此数值0的补码只有一种形式+0=-0=0 0000000
• 移码：用作浮点数运算的阶码，无论正数负数，都是将该原码补码的首位（符号位）取反得到移码。
• 机器字长位n时各种码制表示的带符号数的取值范围（差别在于0的表示，码和反码分+0和-0，补码只有1个0，因此可以多表示1个。）

码制	定点整数	定点小数
原码	-（2n-1） ~ +(2n-1-1)	-(1-2-(n-1)) ~ +(1-2-(n-1))
反码	-（2n-1） ~ +(2n-1-1)	-(1-2-(n-1)) ~ +(1-2-(n-1))
补码	-2n-1 ~ +(2n-1-1)	-1 ~ +(1-2-(n-1))
移码	-2n-1 ~ +(2n-1-1)	-1 ~ +(1-2-(n-1))

1、浮点数表示

• 浮点数：表示方法位N=F*2^E，其中E称为阶码，F称为尾数；类似于十进制的科学计算法，如85.125=0.85125*10²，二进制如101.011=0.101011*2³
• 在浮点数的表示中，阶码位带符号的纯整数，位数位带符号的纯小数，要注意符号占最高位（正数0，负数1），其表示各式如下：

阶符

阶码

数符

尾数

• 与科学计算法类似，1个浮点数的表示方法不是唯一的，浮点数所能表示的数值范围由阶码确定，所表示的数值精度由位数确定。
• 尾数的表示采用规格化方法，即带符号尾数的补码必须位1.0xxxxx（负数）或者0.0xxxxx（正数），其中x可为1或1
• 对阶（使两个数据的阶码相同，小阶向大阶看齐，较小阶码增加几位，尾数就右移几位）
• 尾数计算（相加，若是减运算，则加负数）
• 结果规格化（即尾数表示规格化，带符号尾数转换为1.0xxxxx（负数）或者0.0xxxxx（正数）

例题：浮点数在机器中的表示如下所示，若阶码的长度为e，尾数的长度为m，则以下关于浮点数的表示的叙述中，正确的是（）

① e的值影响浮点的范围，e越大，所表示的浮点数数值范围越大

② e的值影响浮点的精度，e越大，所表示的浮点数数值范围越高

③ m的值影响浮点数的范围，m越大，所表示的浮点数范围越大

④ m的值影响浮点数的精度，m越大，所表示的浮点数范围越高

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

2、算术运算和逻辑运算

数与数之间的算术运算包括：加、减、乘、除等基本算术运算，对于二进制，还应该掌握基本逻辑运算

逻辑名称	逻辑内容
逻辑与（&）	0和1相与，只要有1个为0结果为0，两个都是1才是1。
逻辑或（|）	0和1相与，只要有1个位1结果就为1，两个都是0才是0。
异或	同0非1。即参加运算的二进制数同为0或者同为1结果为0；1个为0另外1个为1结果为1。
逻辑非（!）	0的非是1，1的非是0
逻辑左移（<<）	二进制整数左移n位，高位若溢出则舍去，低位补0。
逻辑右移（>>）	二进制整数右移n位，低位若溢出则舍去，高位补0。

3、校验码

• 码距：单个编码A：00而言，起码据为1；因为其只需要改变1位编程另外1个编码。在2个编码中，从A码到B码转换需要改变位数的称为码距。码距越大，越利于纠错和检错
• 奇偶校验码：在编码中增加1位校验位来使编码中的1个数位奇数（奇校验）或者偶数（偶校验），从而使码距变为2
• 奇校验：编码中，含有奇数个1，发送给接收方，接收方收到后，会计算收到的编码有多少个1，如果是奇数个，则无误，如果是偶数个，则有误
• 偶校验同理，只是编码中偶数个1，由上述，奇偶只能校验1位错，并且无法纠错。

4、循环冗余校验码CRC

• CRC只能检错，不能纠错，其原理是找出1个能整除多项式的编码，因此首先要将原始报文除以多项式，将所得的余数作为校验位加载原始报之后，作为发送数据发给接收方，其编码格式为：

• 因此，CRC由2部分组成，左边为信息码（原始数据），右边为校验码。校验码是由信息码产生的，校验码位数越长，校验能力越强。求CRC编码时，采用的是模2运算（按位运算，不发生错位和进位）

例题：原始报文为“11001010101”，其生成多项式为：x⁴+x³+x+1。对其进行CRC编码后的结果为？

5、海明码校验码

• 海明码：本质也是利用奇偶性来检错和纠错的校验方法，构成方法是数据位之间的确定位置插入k个校验位，通过扩大码距实现检错和纠错。
• 设数据位是n位，校验位是k位，则n和k必须满足以下关系：2^k-1>=n+k

例题：求信息1011的海明码

(1)校验位的位数和具体的数据位的位数之间的关系：所有位都编号，从最低位编号，从1开始递增，校验位处于2的n（n= 0 1 2 .....）次方中，即处于第1，2，4，8，16......位上，其余位才能填充真正的数据位，若信息数据位1011，则可知，第1，2，4位为校验位，第3，5，6，7位为数据位，用来从低位开始存放1011

7	6	5	4	3	2	1	位数
I4	I3	I2		I1			信息位
			r2		r1	r0	校验位

(2)每一位校验码的计算公式：需要确定每1位校验码到底校验哪些信息位，将信息位（即编号）拆分为二进制表示，如7=4+2+1，由第4位校验位（r₂）和第二位校验位(r₁)和第1位（r₀）共同校验。同理，第6位数据位6=4+2，第5位校验位5=4+1，第3位数据位3=2+1，前面可知，这些2的n次方都是校验位，可知第4位校验码校验第7 6 5三位数据位，因此，第4位校验位r₂等于这三位数据位的值异或，第2位和第1位校验位计算原来同上，计算出3个校验位后，知道最终要发送的海明码校验码位1010101

7	6	5	4	3	2	1	位数
1	0	1		1			信息位
			0		0	1	校验位

(3)检错和纠错原理

接收方收到海明码之后，会将每一位校验码与其校验的位数分别异或，即如下三组运算

如果是偶校验，那么运算得到的结果应该全部都是0，如果是奇校验，应该都是1，才是正确，假设是偶校验，且接收到的数据位1011101（第四位出错），此时，运算的结果为：

这里不都是0，编码传输的过程是错误的，并且按照r2r1r0排位列为二进制100，这里指出的就是错误的位数，表示第100，即第4位出错，找到了出错位，纠错方法就是将该位逆转。

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